النسبة المعلنة ليست النسبة التي تدفعها

PMT = PV · i / ( 1 − (1 + i)^−n )

i = النسبة الاسمية السنوية ÷ عدد الفترات في السنة
إذا كان i = 0  →  PMT = PV ÷ n

المبلغ الثابت الذي يُدفع في نهاية كل فترة ليصل الرصيد إلى الصفر تماماً عند القسط الأخير. مطابق لدالة PMT في إكسل.

IPMT(k) = B(k−1) · i
PPMT(k) = PMT − IPMT(k)
B(k)    = B(k−1) − PPMT(k)

في طريقة الرصيد المتناقص تُحتسب الفائدة على رصيد بداية الفترة وحده. وكلما تناقص الرصيد تناقصت حصة الفائدة من القسط.

إجمالي الفائدة = PV · r · T
PMT           = ( PV + إجمالي الفائدة ) ÷ n

الفائدة الثابتة تُحتسب على كامل المبلغ الأصلي ولـكامل المدة، وكأنك لم تسدّد أي قسط. لكنك تبدأ بسداد الأصل من القسط الأول، ولا يبقى بين يديك وسطياً سوى نحو نصف المبلغ. لذلك نسبة ثابتة ٦٪ على ٢٤ قسطاً شهرياً تعادل فعلياً ١١٫٩٪، ونسبة ١٨٪ ثابتة تبلغ ٣٦٫٤٪.

سداد الفائدة:  PMT(k) = B · i   ,   B ثابت
رسملة الفائدة: B(k) = B(k−1) · (1 + i)
               → B_الإطفاء = PV · (1 + i)^g

هذه النقطة تخالف الشائع: إذا لم تكن هناك رسوم، فإن فترة السماح لا تغيّر المعدل الفعلي إطلاقاً. قرض بنسبة اسمية ٢٠٪ يعطي معدلاً فعلياً ٢١٫٩٤٪ سواء بلا سماح، أو بسماح بسداد الفائدة، أو بسماح برسملة الفائدة — لأن المُقرض في الحالات الثلاث يحتسب i نفسها على الرصيد، فيبقى IRR مساوياً لـ i. ما تغيّره فترة السماح هو المبلغ لا النسبة. أما مع وجود رسوم، فالمدة الأطول تُوزّع الرسوم فتخفض المعدل الفعلي قليلاً.

الرسوم = PV · (النسبة ÷ ١٠٠) + مبلغ ثابت

خصم من المصروف: الصافي = PV − الرسوم ، الأقساط على أساس PV
إضافة إلى الأصل: الصافي = PV        ، الأقساط على أساس PV + الرسوم

الرسوم لا تمسّ النسبة المعلنة لكنها تحرّك النسبة الحقيقية دائماً، لأنك إما تستلم أقل أو تسدّد أكثر. وكلما قصرت مدة القرض كانت ضربة الرسوم الثابتة أقسى، لأنها تتوزع على زمن أقل.

NPV(i*) = Σ  CF(k) / (1 + i*)^k  =  0
         k=0..n

CF(0) = + صافي المصروف
CF(k) = − قسط الفترة k

النسبة الحقيقية هي النسبة التي تجعل القيمة الحالية لكل ما تدفعه مساويةً تماماً للنقد الذي استلمته فعلاً. ولأن دالة NPV في نمط القروض رتيبة تماماً بالنسبة للنسبة، فالجذر وحيد، وتحلّه هذه الأداة بطريقة التنصيف عبر ٢٠٠ تكرار — بلا تخمين ابتدائي وبلا خطر تباعد.

Σ  CF(k) / (1 + R)^τ(d₀, d_k)  =  0

τ = كسر السنة وفق أساس احتساب الأيام المختار

خلافاً لـ IRR الذي يفترض تساوي الفترات، يستخدم XIRR المسافة الحقيقية بين التواريخ، فتُعالَج الأشهر ذات الـ٢٨ إلى ٣١ يوماً بأمانة. وعلى أساس فعلي/٣٦٥ ثابت يطابق دالة XIRR في إكسل تماماً، وعلى أساس فعلي/فعلي يطابق الأساس المقرَّر لـ APRC الأوروبي.

فعلي/٣٦٥F   τ = الأيام ÷ ٣٦٥          ISDA §4.16(d)
فعلي/٣٦٠    τ = الأيام ÷ ٣٦٠          ISDA §4.16(e)
فعلي/فعلي   τ = Σ أيام_س ÷ (٣٦٥|٣٦٦)  ISDA §4.16(b)
٣٠/٣٦٠ US   D1=31→30 ; D2=31 و D1>29→30   §4.16(f)
٣٠E/٣٦٠     D1=31→30 ; D2=31→30           §4.16(g)

التاريخان لا يحدّدان وحدهما مدةً زمنيةً واحدة؛ ذلك يتوقف على الأساس المنصوص عليه في العقد. أساس فعلي/٣٦٠ يعدّ كسور سنة أكثر لكل يوم تقويمي، فتؤدي التدفقات نفسها إلى نسبة سنوية أدنى: مبلغ ١٠٠ يُسدَّد ١١٠ بعد ٣٦٥ يوماً يُحلّ إلى ١٠٫٠٠٠٪ على فعلي/٣٦٥F و٩٫٨٥٦٪ على فعلي/٣٦٠. والاختيار يحرّك XIRR والمدة الزمنية فقط، أما IRR الدوري وAPR وEAR فلا تتأثر.

الولايات المتحدة · تنظيم Z   APR  = i* × m          12 CFR §1026 App. J
الاتحاد الأوروبي · CCD       APRC = (1 + i*)^m − 1  2008/48/EC Annex I

→  APRC ≥ APR دائماً، ويتساويان فقط عند m = 1

للقرض الواحد نسبتان سنويتان صحيحتان قانوناً. في الولايات المتحدة يعرّف تنظيم Z الـ APR بالطريقة الاكتوارية: النسبة الدورية مضروبةً في عدد الفترات في السنة، مع تجاهل التركيب داخل السنة عمداً. وفي الاتحاد الأوروبي يعرّف التوجيه 2008/48/EC الـ APRC بأنه النسبة التي تُعادِل القيم الحالية، أي نسبة فعلية. فنسبة ٢٪ شهرياً تعني APR أمريكياً ٢٤٫٠٠٪ وAPRC أوروبياً ٢٦٫٨٢٪. وهذه الأداة تعرض الرقمين موسومَين.

EAR = (1 + i*)^m − 1

EAR = (1 + APR/m)^m − 1  ≥  APR

يعكس أثر التركيب كاملاً، ولذلك تعرضه هذه الأداة بأكبر خط. وعند مقارنة قروض بدوريات سداد مختلفة — شهري مقابل ربع سنوي — يبقى الأساس السليم الوحيد. وهو مطابق في بنائه لـ APRC الأوروبي.

D_mac = Σ [ τ_k · PV(CF_k) ] ÷ Σ PV(CF_k)
D_mod = D_mac ÷ (1 + y/m)
WAL   = Σ [ τ_k · الأصل_k ] ÷ Σ الأصل_k

مدة ماكولي هي متوسط زمن الاسترداد موزوناً بالقيمة الحالية ومخصوماً بعائد الأداة نفسها؛ والمدة المعدّلة تحوّلها إلى حساسية تجاه تغيّر طفيف مواز في العوائد. أما العمر المتوسط المرجّح فهو الفكرة نفسها على الأصل وحده وبلا خصم — وهو عُرف التوريق. ويتجاوز WAL المدة الزمنية دائماً، وتَقصُر المدة كلما ارتفع العائد. وللسداد الدفعة الواحدة تساوي المدة أجل الاستحقاق تماماً.

الصحيح — IRR واحد من التدفق المدمَج:

  CF(t) = Σ  CF_j(t)        لكل تاريخ t
           j
  Σ  CF(t) / (1 + R)^τ(t₀, t)  =  0

الخاطئ — متوسط موزون:

  R̄ = Σ (الصافي_j × EAR_j) ÷ Σ الصافي_j

النسبة نسبةٌ لا كمية، وأخذ متوسط النسب خطأ كلاسيكي. الطريقة السليمة أن تُدمَج تدفقات القروض كافة على تقويم واحد مشترك ثم يُحلّ IRR واحد من المجموع، فيَزِن ذلك كل قرض بمقدار «المال × المدة» تلقائياً. القرض الغالي لستة أشهر يأخذ في المتوسط الساذج الوزن نفسه الذي يأخذه قرض غالٍ لخمس سنوات، مع أنه يحجز جزءاً يسيراً من «المال × المدة» — وهو خطأ يبلغ ٥٫١٩ نقطة مئوية في مثال واقعي.

المتسلسلة التراكمية:  S(k) = Σ CF(0..k)

إذا غيّرت S(k) إشارتها مرة واحدة فقط
        →  فـ IRR وحيد ✓

القرض المفرد بسيط: تدفق داخل واحد ثم تدفقات خارجة فقط، فالجذر وحيد. لكن عند دمج عدة قروض بـتواريخ بدء مختلفة قد تستلم مالاً من جديد في منتصف المدة فتنقلب الإشارة أكثر من مرة. ووفق قاعدة الإشارات لديكارت قد توجد عندئذ عدة قيم رياضية لـ IRR. تختبر هذه الأداة شرط نُرستروم وتصرّح عند إخفاقه بدل أن تعرض جذراً واحداً وكأنه الجواب.

هجري شمسي → رقم اليوم اليولياني → ميلادي

أطوال الأشهر:  ١–٦   → ٣١ يوماً
               ٧–١١  → ٣٠ يوماً
               إسفند → ٢٩ أو ٣٠ (كبيسة)

يجري التحويل بخوارزمية «سنوات الكسر» التي تتبع دورة الكبس غير المنتظمة بدقة — خلافاً للتقريب الساذج ذي الثلاث والثلاثين سنة الذي ينحرف يوماً كل بضعة عقود. وقد جرى التحقق يوماً بيوم مقابل تقويم النظام المرجعي على امتداد ٢٥٬٥٦٧ يوماً من ١٩٩٠ إلى ٢٠٦٠. وتُجرى الحسابات المالية كلها على التاريخ الميلادي، والتقويم الشمسي طبقة عرض فحسب، فلا يتسرب أي خطأ تحويل إلى الأرقام.