نرخی که به شما گفته‌اند، نرخی نیست که می‌پردازید

PMT = PV · i / ( 1 − (1 + i)^−n )

i = نرخ اسمی سالانه ÷ تعداد دوره در سال
اگر i = 0  →  PMT = PV ÷ n

مبلغ ثابتی که در پایان هر دوره پرداخت می‌شود تا در قسط آخر مانده بدهی دقیقاً صفر شود. همان تابع PMT در اکسل.

IPMT(k) = B(k−1) · i
PPMT(k) = PMT − IPMT(k)
B(k)    = B(k−1) − PPMT(k)

در روش مانده کاهشی، سود هر دوره فقط روی مانده ابتدای همان دوره حساب می‌شود. چون مانده کم می‌شود، سهم سود در اقساط اول بیشتر و در اقساط آخر کمتر است.

سود کل = PV · r · T
PMT     = ( PV + سود کل ) ÷ n

در نرخ فِلت، سود روی کل مبلغ اولیه و برای تمام دوره حساب می‌شود — انگار هیچ قسطی پرداخت نکرده‌اید. اما شما از قسط اول شروع به بازپرداخت اصل می‌کنید و مانده واقعی‌تان کمتر است. نتیجه: نرخ فِلت ۱۸٪ روی ۲۴ قسط ماهانه در عمل به نرخ مؤثر ۳۶٫۴۲٪ می‌رسد.

پرداخت سود:   PMT(k) = B · i   ,   B ثابت می‌ماند
انباشت سود:   B(k) = B(k−1) · (1 + i)
              → B_استهلاک = PV · (1 + i)^g

این نکته خلاف تصور رایج است: اگر کارمزدی در کار نباشد، دوره تنفس نرخ مؤثر را اصلاً تغییر نمی‌دهد. وامی با ۲۰٪ اسمی، چه بدون تنفس، چه با تنفسِ پرداخت سود و چه با تنفسِ انباشت سود، هر سه نرخ مؤثر ۲۱٫۹۴٪ دارند. دلیلش ساده است: در هر سه حالت وام‌دهنده دقیقاً i را روی مانده می‌گیرد، پس IRR برابر i می‌ماند. آنچه تنفس تغییر می‌دهد پول است نه نرخ: در همان مثال، تنفس انباشتی کل بازپرداخت را از ۱۱۶٫۱۶ به ۱۱۶٫۸۱ میلیون می‌برد. برعکس، اگر کارمزد وجود داشته باشد، دوره طولانی‌تر آن کارمزد را پخش می‌کند و نرخ مؤثر را پایین می‌آورد.

کارمزد = PV · (درصد ÷ ۱۰۰) + مبلغ ثابت

کسر از پرداختی:  خالص = PV − کارمزد   ، اقساط بر مبنای PV
افزوده به اصل:   خالص = PV          ، اقساط بر مبنای PV + کارمزد

کارمزد روی نرخ اعلامی اثری ندارد، ولی روی نرخ واقعی اثر می‌گذارد؛ چون یا پول کمتری می‌گیرید یا قسط بیشتری می‌دهید. هرچه دوره وام کوتاه‌تر باشد، یک کارمزد ثابت ضربه‌ی سنگین‌تری به نرخ واقعی می‌زند.

NPV(i*) = Σ  CF(k) / (1 + i*)^k  =  0
         k=0..n

CF(0) = + خالص دریافتی
CF(k) = − قسط دوره k

نرخ واقعی یعنی: چه نرخی باید بگذاریم تا ارزش فعلی تمام پرداخت‌های شما دقیقاً برابر پولی شود که واقعاً گرفتید. چون در الگوی وام تابع NPV نسبت به نرخ اکیداً صعودی است، ریشه یکتاست و این ابزار آن را با روش دوبخشی با ۲۰۰ تکرار حل می‌کند — بدون وابستگی به حدس اولیه و بدون خطر واگرایی.

Σ  CF(k) / (1 + R)^( (d_k − d_0) ÷ 365 )  =  0

برخلاف IRR که فرض می‌کند همه دوره‌ها هم‌اندازه‌اند، XIRR فاصله‌ی واقعی روزها را حساب می‌کند. چون ماه‌ها ۲۸ تا ۳۱ روزند، XIRR معمولاً کمی با EAR فرق دارد.

حقیقی/۳۶۵F   τ = روزها ÷ ۳۶۵           ISDA §4.16(d)
حقیقی/۳۶۰    τ = روزها ÷ ۳۶۰           ISDA §4.16(e)
حقیقی/حقیقی  τ = Σ روزها_س ÷ (۳۶۵|۳۶۶)  ISDA §4.16(b)
۳۰/۳۶۰ US    D1=31→30 ؛ D2=31 و D1>29→30   §4.16(f)
۳۰E/۳۶۰      D1=31→30 ؛ D2=31→30           §4.16(g)

دو تاریخ به‌تنهایی یک طول زمانی یکتا نمی‌سازند؛ این به قراردادی بستگی دارد که در متن قرارداد آمده است. مبنای حقیقی/۳۶۰ به‌ازای هر روز تقویمی کسر سال بیشتری می‌شمارد، پس همان جریان نقدی به نرخ سالانه‌ی کمتری می‌رسد: مبلغ ۱۰۰ که پس از ۳۶۵ روز ۱۱۰ بازپرداخت شود، روی حقیقی/۳۶۵F به ۱۰٫۰۰۰٪ و روی حقیقی/۳۶۰ به ۹٫۸۵۶٪ حل می‌شود. این انتخاب فقط XIRR و دوریشن را جابه‌جا می‌کند؛ IRR دوره‌ای، APR و EAR دست‌نخورده می‌مانند.

آمریکا · رگولیشن Z    APR  = i* × m          12 CFR §1026 App. J
اروپا  · CCD          APRC = (1 + i*)^m − 1  2008/48/EC Annex I

→  همیشه APRC ≥ APR ، و فقط وقتی m = 1 برابرند

یک وام واحد دو «نرخ درصد سالانه»ی متفاوت دارد که هر دو قانوناً درست‌اند. در آمریکا رگولیشن Z نرخ APR را به روش اکچوئری تعریف می‌کند: نرخ دوره‌ای ضرب در تعداد دوره‌های سال، که اثر مرکب‌شدن درون سال را عمداً نادیده می‌گیرد. در اتحادیه اروپا دستورالعمل 2008/48/EC نرخ APRC را نرخی تعریف می‌کند که ارزش‌های فعلی را برابر می‌کند — یعنی یک نرخ مؤثر. نرخ ۲٪ ماهانه یعنی APR آمریکایی ۲۴٫۰۰٪ و APRC اروپایی ۲۶٫۸۲٪. این ابزار هر دو را با برچسب خودشان نشان می‌دهد.

D_mac = Σ [ τ_k · PV(CF_k) ] ÷ Σ PV(CF_k)
D_mod = D_mac ÷ (1 + y/m)
WAL   = Σ [ τ_k · اصل_k ] ÷ Σ اصل_k

دوریشن مکالی میانگین زمان بازپرداخت است، وزن‌دار با ارزش فعلی و تنزیل‌شده با بازده خودِ وام؛ دوریشن تعدیل‌شده آن را به حساسیت نسبت به تغییر کوچک و موازی نرخ‌ها تبدیل می‌کند. عمر میانگین وزنی همان ایده روی اصل و بدون تنزیل است — قرارداد رایج در تبدیل به اوراق بهادار. WAL همیشه از دوریشن بزرگ‌تر است و دوریشن با بالا رفتن بازده کوتاه‌تر می‌شود. برای وامی که یک‌جا تسویه شود، دوریشن دقیقاً برابر سررسید است.

EAR = (1 + i*)^m − 1

رابطه:  EAR = (1 + APR/m)^m − 1  ≥  APR

اثر مرکب‌شدن را کامل به حساب می‌آورد و به همین دلیل عددی است که این ابزار بزرگ نشان می‌دهد. برای مقایسه‌ی وام‌هایی با دوره‌های متفاوت (ماهانه در برابر سه‌ماهه) تنها معیار درست همین است.

روش درست — یک IRR از جریان تجمیعی:

  CF(t) = Σ  CF_j(t)        برای هر تاریخ t
           j
  Σ  CF(t) / (1 + R)^((t − t₀) ÷ 365)  =  0

روش نادرست — میانگین وزنی:

  R̄ = Σ (خالص_j × EAR_j) ÷ Σ خالص_j

نرخ یک نسبت است، نه یک مقدار؛ و میانگین گرفتن از نسبت‌ها اشتباه کلاسیک است. روش درست: جریان نقدی همه‌ی وام‌ها را روی یک تقویم مشترک جمع کنید و یک IRR واحد از آن حل کنید. این کار خودکار هر وام را به اندازه‌ی «پول × مدت» وزن می‌دهد. یک وام گرانِ شش‌ماهه در میانگین وزنی همان وزنی را می‌گیرد که یک وام گرانِ پنج‌ساله، در حالی که پول شما را بسیار کمتر درگیر می‌کند — و همین خطا در نمونه‌ای واقعی به ۵٫۱۹ واحد درصد می‌رسد.

دنبالهٔ تجمعی:  S(k) = Σ CF(0..k)

اگر S(k) فقط یک بار تغییر علامت دهد
        →  IRR یکتاست ✓

در یک وام تنها، الگو ساده است: یک ورودی، بعد فقط خروجی — پس ریشه یکتاست. اما وقتی چند وام با تاریخ‌های شروع متفاوت جمع می‌شوند، ممکن است وسط دوره دوباره پول دریافت کنید و علامت جریان چند بار عوض شود. طبق قاعده‌ی علامت دکارت، آن‌گاه چند IRR ریاضی ممکن است وجود داشته باشد. این ابزار شرط نُرستروم را بررسی می‌کند و اگر نقض شود هشدار می‌دهد.

شمسی → روز ژولیَن → میلادی

طول ماه:  ۱ تا ۶  → ۳۱ روز
          ۷ تا ۱۱ → ۳۰ روز
          اسفند   → ۲۹ یا ۳۰ (کبیسه)

تبدیل تقویم با الگوریتم «سال‌های شکست» انجام می‌شود که چرخه‌های نامنظم کبیسه را دقیقاً دنبال می‌کند — برخلاف تقریب ساده‌ی ۳۳ ساله که هر چند دهه یک روز خطا می‌دهد. صحت آن روزبه‌روز برای ۲۵٬۵۶۷ روز (۱۹۹۰ تا ۲۰۶۰) با تقویم مرجع سیستم مقایسه و تأیید شده است. همه‌ی محاسبات مالی روی تاریخ میلادی انجام می‌شود و تقویم شمسی فقط لایه‌ی نمایش است.